Question

已知，命题p：“函数y=lg（x²+2ax+2-a）的值域为R”，命题q：“?x∈[0，1]，x²+2x+a≥0”
（1）若命题p是真命题，求实数a的取值范围．
（2）若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：（1）由函数y=lg（x²+2ax+2-a）的值域为R，可得：U=x²+2ax+2-a能取遍所有正数，因此△≥0，解出即可．
（2）对于命题q：由?x∈[0，1]，x²+2x+a≥0，可得：a≥-x²-2x对x∈[0，1]恒成立，利用二次函数的单调性即可得出．由命题“p∨q”是真命题，可得命题p或q是真命题．即可解出．

解答： 解：（1）∵函数y=lg（x²+2ax+2-a）的值域为R，
∴U=x²+2ax+2-a能取遍所有正数，
∴△≥0，
∴a²+a-2≥0．
解得a≤-2或a≥1，
∴实数a的取值范围是a≤-2或a≥1．
（2）对于命题q：∵?x∈[0，1]，x²+2x+a≥0，
∴a≥-x²-2x对x∈[0，1]恒成立，
∵x∈[0，1]时，-x²-2x≤0，
∴a≥0．
∵命题“p∨q”是真命题，
∴命题p或q是真命题．
∴实数a的取值范围是a≤-2或a≥0

点评：本题考查了对数函数的单调性、二次函数的性质与判别式的关系、恒成立问题的等价转化方法、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．