Question

若数列{a_n}，a₁=

2

3

，且a_n+1=a_n+

1

(n+2)(n+1)

（n∈N），则
（1）试写出这个数列的第二、三、四项
（2）试猜想这个数列的通项a_n并证明你的结论．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：

分析：（1）利用a₁=

2

3

，且a_n+1=a_n+

1

(n+2)(n+1)

，代入计算，可得这个数列的第二、三、四项
（2）利用叠加法可得结论．

解答： 解：（1）∵a₁=

2

3

，且a_n+1=a_n+

1

(n+2)(n+1)

，
∴a₂=

5

6

，a₃=

11

12

；
（2）a_n=

7

6

-

1

n+1

．
∵a_n+1=a_n+

1

(n+2)(n+1)

，
∴a_n+1-a_n=

1

(n+2)(n+1)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=

2

3

+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=

7

6

-

1

n+1

．

点评：本题考查数列递推式，考查叠加法的运用，属于中档题．