Question

（Ⅰ）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于一个常数．
sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°，sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°，sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°，sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°，sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos55°．
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
（Ⅱ）求函数y=2+2sinxcosx+sinx+cosx，x∈[-

π

2

，

π

2

]的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,进行简单的合情推理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）（1）利用三角恒等变换化简 sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°，可得结果．
（2）将该同学的发现推广为三角恒等式为：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

，再利用三角恒等变换进行证明．
（Ⅱ）设t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），由 x∈[-

π

2

，

π

2

]，可得x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，再利用正弦函数的定义域和值域求得它的最值．

解答： 解：（Ⅰ）（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°=

1-cos26°

2

+

1+cos34°

2

-sin13°cos17°=1+

1

2

（cos34°-cos26°）-sin13°cos17°
=1+

1

2

（-2）sin30°sin4°-

1

2

（sin30°-sin4°）=

3

4

．
（2）将该同学的发现推广为三角恒等式为：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

，
证明：∵sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

1-cos2α

2

+

1+cos(60°-2α)

2

-sinαcos（30°-α）
=1+

1

2

[cos（60°-2α）-cos2α]-sinαcos（30°-α）=1+

1

2

（-2）sin30°sin（30°-2α）-

1

2

[sin30°-sin（30°-2α）]=

3

4

，
∴sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

 成立．
（Ⅱ）设t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，∴x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
所以当 x+

π

4

=-

π

4

 时，t_min=

2

sin（-

π

4

）=-1，
所以当x+

π

4

=

π

2

 时，t_max=

2

sin

π

2

=

2

，又因为2sinxcosx=（sinx+cosx）²-1=t²-1，
所以 y=t²+t-1=(t+

1

2

)2-

5

4

，-1≤t≤

2

，
所以当t=-

1

2

时，y_min=-

3

4

；当t=

2

时，y_max=1+

2

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．