Question

已知函数f（x）是奇函数，f（x）的定义域为（-∞，+∞）．当x＜0时，f（x）=

ln(-ex)

x

．（e为自然对数的底数）．
（1）若函数f（x）在区间（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在极值点，求实数a的取值范围；
（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数奇偶性的性质

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求出x＞0时的解析式，确定f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，∞）上单调递减，函数f（x）在x=1处取得唯一的极值，利用函数f（x）在区间（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在极值点，即可求实数a的取值范围；
（2）令g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

(x≥1)，由题意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立，求出g（x）_min=g（1）=2，即可求实数k的取值范围．

解答： 解：x＞0时，f(x)=-f(-x)=

ln(ex)

x

=

1+lnx

x

…（3分）
（1）当x＞0时，有f′(x)=

1 x •x-(1+lnx)•1

x2

=-

lnx

x2

，
f'（x）＞0?lnx＜0?0＜x＜1；f'（x）＜0?lnx＞0?x＞1
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，∞）上单调递减，函数f（x）在x=1处取得唯一的极值．
由题意a＞0，且a＜1＜a+

1

3

，解得所求实数a的取值范围为

2

3

＜a＜1…（6分）
（2）当x≥1时，f(x)≥

k

x+1

?

1+lnx

x

≥

k

x+1

?k≤

(x+1)(1+lnx)

x

令g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

(x≥1)，由题意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立   …（8分）g′(x)=

[(x+1)(1+lnx)]′•x-(x+1)(1+lnx)•x′

x2

=

x-lnx

x2

令h（x）=x-lnx（x≥1），则h′(x)=1-

1

x

≥0，当且仅当x=1时取等号．
所以h（x）=x-lnx在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=1＞0
因此，g′(x)=

h(x)

x2

＞0g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）_min=g（1）=2．…（10分）
所以k≤2．
所以所求实数k的取值范围为（-∞，2]…（12分）

点评：本题考查利用导数研究函数的极值、最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．