题目内容
如图，设椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| a2 |
| F1A |
| F1B |
| F2A |
| F2B |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过点M（
| 2 |
| 3 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（I）由|
+
|=|
-
|得2b=2c，即b=c，根据椭圆C经过点（
，1），求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）分类讨论，设l的方程为y=k（x-
），代入椭圆方程，利用韦达定理，证明
•
=0，即可得出结论．
| F1A |
| F1B |
| F2A |
| F2B |
| 2 |
（Ⅱ）分类讨论，设l的方程为y=k（x-
| 2 |
| 3 |
| PT |
| QT |
解答：
解：（I）设椭圆的半焦距为c（c＞0），由|
+
|=|
-
|得2b=2c，即b=c，
得a2=b2+c2=2b2，
∵椭圆C经过点（
，1），
∴
+
=1，
∴b2=2，a2=4，
∴椭圆C的标准方程为
+
=1；
（II）当直线l与x轴垂直时，将x=
代入到椭圆C的标准方程中得y=±
，
∵
+
=2，∴存在T（2，0）满足条件；
直线l与x轴不垂直时，设其斜率为k，下面证明无论k为何值，T（2，0）满足条件．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意l的方程为y=k（x-
），
代入椭圆方程，消去y，可得（1+2k2）x2-
k2x+
k2-4=0，
∴x1+x2=
，x1x2=
，
∴
•
=（1+k2）x1x2-（2+k2）（x1+x2）+
k2+4=0，
∴无论k为何值，
•
=0，即以PQ为直径的圆恒过定点T（2，0）．
| F1A |
| F1B |
| F2A |
| F2B |
得a2=b2+c2=2b2，
∵椭圆C经过点（
| 2 |
∴
| 2 |
| 2b2 |
| 1 |
| b2 |
∴b2=2，a2=4，
∴椭圆C的标准方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 2 |
（II）当直线l与x轴垂直时，将x=
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
∵
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
直线l与x轴不垂直时，设其斜率为k，下面证明无论k为何值，T（2，0）满足条件．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意l的方程为y=k（x-
| 2 |
| 3 |
代入椭圆方程，消去y，可得（1+2k2）x2-
| 8 |
| 3 |
| 8 |
| 9 |
∴x1+x2=
| ||
| 1+2k2 |
| ||
| 1+2k2 |
∴
| PT |
| QT |
| 4 |
| 9 |
∴无论k为何值，
| PT |
| QT |
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．
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