题目内容
已知点P在椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)上，以P为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F2，且
•
=2，tan∠OPF2=
，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点M（-1，0），设Q是椭圆C上的一点，过Q、M两点的直线l交y轴于点N，若
=2
，求直线l的方程；
（Ⅲ）作直线l1与椭圆D：
+
=1交于不同的两点S，T，其中S点的坐标为（-2，0），若点G（0，t）是线段ST垂直平分线上一点，且满足
•
=4，求实数t的值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| OP |
| OF2 |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点M（-1，0），设Q是椭圆C上的一点，过Q、M两点的直线l交y轴于点N，若
| NQ |
| QM |
（Ⅲ）作直线l1与椭圆D：
| x2 |
| a2 |
| 2y2 |
| b2 |
| GS |
| GT |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）由已知条件推导出PF2⊥OF2，设r为圆P的半径，c为椭圆的半焦距，由
•
=2，tan∠OPF2=
=
，求出c=
，r=1，再由点P(±
，1)在椭圆，求出a2=4，b2=2，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+1），由N（0，k），Q（x1，y1），
=2
，能求出直线l的方程．
（Ⅲ）由题意知椭圆D：
+y2=1，设直线l1的方程为y=k（x+2），把它代入椭圆D的方程得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0，利用韦达定理能求出满足条件的实数t的值．
| OP |
| OF2 |
| c |
| r |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+1），由N（0，k），Q（x1，y1），
| NQ |
| QM |
（Ⅲ）由题意知椭圆D：
| x2 |
| 4 |
解答：
（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意知，在△OPF2中，PF2⊥OF2，
由tan∠OPF2=
，得：cos∠POF2=
，
设r为圆P的半径，c为椭圆的半焦距，
∵
•
=2，∴
•c•
=2，
又，tan∠OPF2=
=
，解得：c=
，r=1，
∴点P的坐标为(±
，1)，…（2分）
∵点P在椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)上，∴
+
=1，
又a2-b2=c2=2，解得：a2=4，b2=2，
∴椭圆C的方程为
+
=1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C的方程为
+
=1，
由题意知直线l的斜率存在，故设其斜率为k，
则其方程为y=k（x+1），N（0，k），
设Q（x1，y1），∵
=2
，
∴（x1，y1-k）=2（-1-x1，-y1），
∴x1=-
，y1=
，…（7分）
又∵Q是椭圆C上的一点，∴
+
=1，
解得k=±4，
∴直线l的方程为4x-y+4=0或4x+y+4=0．…（9分）
（Ⅲ）由题意知椭圆D：
+y2=1，
由S（-2，0），设T（x1，y1），
根据题意可知直线l1的斜率存在，
设直线斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x+2），
把它代入椭圆D的方程，消去y，
整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0，
由韦达定理得-2+x1=-
，
则x1=
，y1=k（x1+2）=
，
所以线段ST的中点坐标为(-
，
)，
（1）当k=0时，则有T（2，0），线段ST垂直平分线为y轴，
∴
=(-2，-t)，
=(2，-t)，
由
•
=-4+t2=4，解得：t=±2
．…（11分）
（2）当k≠0时，则线段ST垂直平分线的方程为y-
=-
（x+
），
∵点G（0，t）是线段ST垂直平分线的一点，
令x=0，得：t=-
，
∴
=(-2，-t)，
=(x1，y1-t)，
由
•
=-2x1-t(y1-t)=
=4，解得：k=±
，
代入t=-
，解得：t=±
，
综上，满足条件的实数t的值为t=±2
或t=±
．…（14分）
解：（Ⅰ）由题意知，在△OPF2中，PF2⊥OF2，
由tan∠OPF2=
| 2 |
| ||
| 3 |
设r为圆P的半径，c为椭圆的半焦距，
∵
| OP |
| OF2 |
| c2+r2 |
| ||
| 3 |
又，tan∠OPF2=
| c |
| r |
| 2 |
| 2 |
∴点P的坐标为(±
| 2 |
∵点P在椭圆C：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
(±
| ||
| a2 |
| 1 |
| b2 |
又a2-b2=c2=2，解得：a2=4，b2=2，
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 2 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 2 |
由题意知直线l的斜率存在，故设其斜率为k，
则其方程为y=k（x+1），N（0，k），
设Q（x1，y1），∵
| NQ |
| QM |
∴（x1，y1-k）=2（-1-x1，-y1），
∴x1=-
| 2 |
| 3 |
| k |
| 3 |
又∵Q是椭圆C上的一点，∴
(-
| ||
| 4 |
(
| ||
| 2 |
解得k=±4，
∴直线l的方程为4x-y+4=0或4x+y+4=0．…（9分）
（Ⅲ）由题意知椭圆D：
| x2 |
| 4 |
由S（-2，0），设T（x1，y1），
根据题意可知直线l1的斜率存在，
设直线斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x+2），
把它代入椭圆D的方程，消去y，
整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0，
由韦达定理得-2+x1=-
| 16k2 |
| 1+4k2 |
则x1=
| 2-8k2 |
| 1+4k2 |
| 4k |
| 1+4k2 |
所以线段ST的中点坐标为(-
| 8k2 |
| 1+4k2 |
| 2k |
| 1+4k2 |
（1）当k=0时，则有T（2，0），线段ST垂直平分线为y轴，
∴
| GS |
| GT |
由
| GS |
| GT |
| 2 |
（2）当k≠0时，则线段ST垂直平分线的方程为y-
| 2k |
| 1+4k2 |
| 1 |
| k |
| 8k2 |
| 1+4k2 |
∵点G（0，t）是线段ST垂直平分线的一点，
令x=0，得：t=-
| 6k |
| 1+4k2 |
∴
| GS |
| GT |
由
| GS |
| GT |
| 4(16k4+15k2-1) |
| (1+4k2)2 |
| ||
| 7 |
代入t=-
| 6k |
| 1+4k2 |
2
| ||
| 5 |
综上，满足条件的实数t的值为t=±2
| 2 |
2
| ||
| 5 |
点评：本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
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