Question

已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且满足a₁=1，S_n+1=4a_n+2
（1）若b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求证数列{

an

2n

}是等差数列；
（3）若c_n=

2n

an(3n+2)

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用数列的递推式，分别表示出S_n+1和S_n+2，两式相减，整理可得a_n+2-2a_n+1=2a_n+1-4a_n，进而把b_n代入求得

bn+1

bn

=2，推断出{b_n}为首项为3，公比为2的等比数列．
（2）通过（1）利用等比数列的通项公式求得b_n，然后利用b_n=a_n+1-2a_n，整理出判断出数列{

an

2n

}是等差数列．
（3）求出c_n，拆项后利用裂项相消法可求得T_n．

解答： 解：（1）∵a₁=1，S₂=4a₁+2，得a₂=S₂-a₁=3a₁+2=5，
∴b₁=5-2=3，
由S_n+1=4a_n+2，得S_n+2=4a_n+1+2，
两式相减得S_n+2-S_n+1=4（a_n+1-a_n），即a_n+2=4（a_n+1-a_n），亦即a_n+2-2a_n+1=2a_n+1-4a_n，
∵b_n=a_n+1-2a_n，∴b_n+1=2b_n，
∴

bn+1

bn

=2，对n∈N^*恒成立，
∴{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列；
（2）由（1）得b_n=3•2^n-1，∵b_n=a_n+1-2a_n，
∴a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，
∴{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

3

4

的等差数列；
∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)•

3

4

=

3n-1

4

，
∴an=

3n-1

4

•2n．
（3）由（2）得cn=

2n

3n-1 4 •2n(3n+2)

=

4

(3n-1)(3n+2)

=

4

3

(

1

3n-1

-

1

3n+2

)，
∴Tn=

4

3

(

1

2

-

1

5

+

1

5

-

1

8

+…+

1

3n-1

-

1

3n+2

)
=

4

3

(

1

2

-

1

3n+2

)．

点评：本题主要考查了由数列的递推式求数列通项、等比数列和等差数列的性质以及数列求和．考查了基础知识的综合运用．