Question

已知正项数列{a_n}中，a₁=1，点（

an

，a_n+1）（n∈N⁺）在函数y=x²+1的图象上，数列{b_n}的前n项和S_n=2-b_n
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

-1

an+1log2bn+1

，求数列{c_n}的前n项和T_n
（3）若x²-

x

2

＜c_n对于n∈N⁺恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出{a_n}是以a₁=1为首项，公差d=1的等差数列，由此求出a_n=n．由数列{b_n}的前n项和S_n=2-b_n，推导出{b_n}是以1为首项2为公比的等比数列，从而求出bn=(

1

2

)n-1．
（2）由c_n=

-1

an+1log2bn+1

=

-1

(n+1)log2( 1 2 )n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．
（3）x²-

x

2

＜c_n对于n∈N⁺恒成立，只需x2-

x

2

＜（c_n）_min，所以x2-

x

2

＜(cn)min=c1=

1

2

，由此能求出x的取值范围．

解答： 解：（1）∵点（

an

，an+1），n∈N^*在函数y=x²+1的图象上，
∴（

an

，an+1）满足y=x²+1，an+1=(

an

)2+1=a_n+1，
∴a_n+1-a_n=1，
又a₁=1，
∴{a_n}是以a₁=1为首项，公差d=1的等差数列，
∴a_n=n．
∵数列{b_n}的前n项和S_n=2-b_n，①
n=1时，b₁=2-b₁，解得b₁=1，
n≥2时，S_n-1=2-b_n-1，②，
①-②，得：b_n=-b_n+b_n-1，
即2b_n=b_n-1，

bn

bn-1

=

1

2

，
∴{b_n}是以1为首项2为公比的等比数列，
∴bn=(

1

2

)n-1．
（2）c_n=

-1

an+1log2bn+1

=

-1

(n+1)log2( 1 2 )n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
（3）x²-

x

2

＜c_n对于n∈N⁺恒成立，
只需x2-

x

2

＜（c_n）_min，
∵cn=

n

n+1

=

1

1+ 1 n

为增数列，
∴x2-

x

2

＜(cn)min=c1=

1

2

，
整理，得2x²-x-1＜0，
解得-

1

2

＜x＜1，
∴x的取值范围是（-

1

2

，1）．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．