题目内容
20．
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面 BCC1B1上运动．现有下列命题：①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在的曲线是直线；
②若点P到点A的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则动点P的轨迹所在的曲线是圆；
③若P满足∠MAP=∠MAC1，则动点P的轨迹所在的曲线是椭圆；
④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为2：1，则动点P的轨迹所在的曲线是双曲线；
⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是抛物线．
其中真命题的个数为（ ）
| A． | 4 | B． | 3 | C． | 2 | D． | 1 |
分析 由BD1⊥面AB1C，可得P在面AB1C和面BCC1B1的交线上判断①正确；由平面截球面轨迹是圆判断②正确；利用平面截圆锥侧面可得P点轨迹所在曲线是双曲线的一支，说明③错误；由椭圆定义说明④不正确；建立空间坐标系，由|PF|=|PG|列式求出动点P的轨迹说明⑤错误．
解答 解：
对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确；
对于②，满足到点A的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，②正确；
对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1 的点P应为以AM为轴，以AC1 为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，
又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，
③错误；
对于④，P到直线C1D1 的距离，
即到点C1的距离与到直线BC的距离比为1：2，
∴动点P的轨迹所在曲线是以C1 为焦点，以直线BC为准线的椭圆，④不正确；
对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF，
设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得$\sqrt{1+{y}^{2}}$=|x|，即x2-y2=1，
∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．
故选C．
点评 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
8．sin$\frac{7}{6}$π=（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B． | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | -$\frac{1}{2}$ |