Question

14．已知函数f（x）=lnx-mx²+（1-2m）x+1
（I）当m=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）若m∈Z，关于x的不等式f（x）≤0恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当m=1时，$f′（x）=\frac{1}{x}-2x-1$，故切线的斜率k=f′（1）=-2，切点为（1，-1），即2x+y-1=0为所求．
（Ⅱ）$f′（x）=\frac{1}{x}-2mx+1-2m$=$\frac{-（2mx-1）（x+1）}{x}$，分m≤0，m＞0，求出f（x）的最大值为f（$\frac{1}{2m}$）≤0，即4mln2m≥1，可得整数m的最小值．

解答 解：（Ⅰ）当m=1时，$f′（x）=\frac{1}{x}-2x-1$，故切线的斜率k=f′（1）=-2
切点为（1，-1），曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=-2（x-1），
即2x+y-1=0为所求．
（Ⅱ）∵f（x）=lnx-mx²+（1-2m）x+1（x＞0），
$f′（x）=\frac{1}{x}-2mx+1-2m$=$\frac{-（2mx-1）（x+1）}{x}$
当m≤0时，f'（x）＞0恒成立，f（x）单调递增，无最大值，∴f（x）≤0不恒成立，
当m＞0时，∴x∈（0，$\frac{1}{2m}$）时，f'（x）＞0；∈（$\frac{1}{2m}$，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在区间（0，$\frac{1}{2m}$）上单调递增区间（$\frac{1}{2m}$，+∞）上单调递减，
f（x）的最大值为f（$\frac{1}{2m}$）≤0，即4mln2m≥1，
∵m∈Z，∴显然，m=1时，4ln2≥1成立，
∴m的最小值为1．

点评 本题考查了利用导函数求函数的单调性和导数的几何意义，对恒成立问题的转化和对参数的分类讨论．属于中档题．