Question

6．设$f（x）=\frac{（4x+a）lnx}{3x+1}$，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，由题意可得f'（1）=1，代入即可求得a的值；
（2）由题意可知：4lnx≤m（3x-$\frac{1}{x}$-2）恒成立，构造辅助函数，求导，分类讨论即可求出m的取值范围

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{（\frac{4x+a}{x}+4lnx）（3x+1）-3（4x+a）lnx}{（3x+1）^{2}}$
由题设f′（1）=1，
∴$\frac{4+a}{4}=1$，
∴a=0．
（2）$f（x）=\frac{4xlnx}{3x+1}$，?x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1），即4lnx≤m（3x-$\frac{1}{x}$-2）
设g（x）=4lnx-m（3x-$\frac{1}{x}$-2），即?x∈[1，|+∞），g（x）≤0，
∴g′（x）=$\frac{4}{x}$-m（3+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{-3m{x}^{2}+4x-m}{{x}^{2}}$，g′（1）=4-4m
①若m≤0，g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾
②若m∈（0，1），当x∈（1，$\frac{2+\sqrt{4-3{m}^{2}}}{3m}$），g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）≥g（1）=0，与题设矛盾．
③若m≥1，当x∈（1，+∞），），g′（x）≤0，g（x）单调递减，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立
综上所述，m≥1．

点评 本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，考查导数与函数的单调性和最值的关系，考查计算能力，属于中档题．