Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（2，-4），3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-8，16），则向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角的大小为π．

Answer 1

分析 由题意，设向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的坐标，利用向量相等得到关于坐标的方程组求出向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，利用数量积公式求夹角．

解答 解：设向量$\overrightarrow{a}$=（x，y），$\overrightarrow{b}$=（m，n），由已知得到$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（x+2m，y+2n）=（2，-4），3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（3x-m，3y-n）=（-8，16），
所以$\left\{\begin{array}{l}{x+2m=2}\\{3x-m=-8}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{y+2n=-4}\\{3y-n=16}\end{array}\right.$，分别解之得到$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{m=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{y=4}\\{n=-4}\end{array}\right.$，所以$\overrightarrow{a}$=（-2，4），$\overrightarrow{b}$=（2，-4），
所以向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{-20}{\sqrt{20}•\sqrt{20}}$-1，所以向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角的大小为π；
故答案为：π．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算；利用方程组的思想是解答本题的关键．