Question

10．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P满足|PF₁|-|PF₂|=2a，若$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=$\overrightarrow{0}$，且M（0，b），则双曲线C的渐近线方程为（　　）

• A． y=±2x
• B． y=±$\sqrt{5}$x
• C． y=±2$\sqrt{2}$x
• D． y=±$\sqrt{3}$x

Answer 1

分析 利用已知条件求出P的坐标，代入双曲线方程得到a，b 的关系式，然后求解渐近线方程．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P满足|PF₁|-|PF₂|=2a，
若$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=$\overrightarrow{0}$，且M（0，b），
可得P（c，2b），
则：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4{b}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得c²=5a²，可得b²=4a²，即b=2a，
双曲线C的渐近线方程为：y=±2x．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．