Question

已知函数f（x）=a x2-3x-3（a＞0，且a≠1），在x∈[1，3]时有最小值

1

8

，求a的值及f（x）最大值．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：换元法求解得出y=a^t，-

21

4

≤t≤-3，分类思想求出a的值，再利用单调性求解最大值．

解答： 解：设t（x）=x²-3x-3，x∈[1，3]，
对称轴x=

3

2

时，t（

3

2

）=-

21

4

，
t（1）=-5，t（3）=-3，
-

21

4

≤t（x）≤-3
∴f（x）=a x2-3x-3（a＞0，且a≠1），在x∈[1，3]
即y=a^t，-

21

4

≤t≤-3
∵有最小值

1

8

，
∴当0＜a＜1时，a^-3=

1

8

，a=

1

2

，
f（x）最大值=（

1

2

） -

21

4

=2 

21

4

，
当a＞1时，a -

21

4

=

1

8

，a=8 

4

21

，
f（x）最大值=（8 

4

21

）^-3=8 -

4

7

点评：本题考察了指数函数的性质，分类讨论思想，属于中档题．