题目内容
已知一元二次不等式ax2-2ax+2a-3＜0，求解下列问题：
（1）当a=2时，解此不等式；
（2）若原不等式的解集为∅，求实数a的取值范围；
（3）若原不等式的解集为R，求实数a的取值范围．
（1）当a=2时，解此不等式；
（2）若原不等式的解集为∅，求实数a的取值范围；
（3）若原不等式的解集为R，求实数a的取值范围．
考点：一元二次不等式的解法,二次函数的性质
专题：分类讨论,不等式的解法及应用
分析：（1）a=2时，求对应一元二次不等式的解集即可；
（2）当原不等式的解集为∅时，得
，求出不等式组的解集即可；
（3）当原不等式的解集为R时，讨论a=0，或
满足题意，求出实数a的取值范围．
（2）当原不等式的解集为∅时，得
|
（3）当原不等式的解集为R时，讨论a=0，或
|
解答：
解：（1）当a=2时，一元二次不等式为2x2-4x+1＜0，
∵△=（-4）2-4×2×1=8＞0，
且方程2x2-4x+1=0的两个实数根为x1=1-
，x2=1+
，
∴此不等式的解集为{x|1-
＜x＜1+
}；
（2）当原不等式的解集为∅时，
应满足
，
解得
，
∴实数a的取值范围是[3，+∞）；
（3）当原不等式的解集为R时，
有a=0，不等式为-3＜0，满足题意；
或
，
解得
；
综上，实数a的取值范围是（-∞，0]．
∵△=（-4）2-4×2×1=8＞0，
且方程2x2-4x+1=0的两个实数根为x1=1-
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴此不等式的解集为{x|1-
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
（2）当原不等式的解集为∅时，
应满足
|
解得
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∴实数a的取值范围是[3，+∞）；
（3）当原不等式的解集为R时，
有a=0，不等式为-3＜0，满足题意；
或
|
解得
|
综上，实数a的取值范围是（-∞，0]．
点评：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了不等式的恒成立问题，是综合性题目．
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