Question

如图，已知F₁，F₂是椭圆

x2

36

+

y2

24

=1的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F₁PF₂=60°求：
（1）△PF₁F₂的面积；
（2）点P的坐标．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先根据椭圆的方程求得c，进而求得|F₁F₂|，设出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面积公式求解；
（2）运用椭圆的第二定义，即有焦半径公式，t₁=e（x₀+

a2

c

）=a+ex₀，t₂=a-ex₀，再由t₁t₂=32，即可解出P的坐标．

解答： 解：（1）∵a²=36，b²=24∴c²=a²-b²=12，
设|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
则t₁+t₂=12①，t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=48②，
由①²-②得t₁t₂=32，
∴S△PF1F2=

1

2

×32×sin60°=8

3

；
（2）设P（x₀，y₀），则t₁=e（x₀+

a2

c

）=a+ex₀=6+

3

3

x₀，
则t₂=a-ex₀=6-

3

3

x₀，
由（1）得t₁t₂=32，解得，x₀=±2

3

，y₀=±4．
则有P（2

3

，4）或（2

3

，-4），或（-2

3

，4），或（-2

3

，-4）．

点评：本题主要考查椭圆中焦点三角形的面积的求法，考查椭圆的两个定义，关键是应用椭圆的定义和余弦定理以及焦半径公式转化．