Question

已知函数f（x）=b•a^x（其中a，b为常量且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）试确定f（x）．
（2）若不等式（

1

a

）^x+（

1

b

）^x-m≥0在x∈（-∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,指数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：第（1）问，将A、B的坐标代入解析式，得关于a、b的方程组，解出a、b即可；
第2问，将（

1

a

）^x+（

1

b

）^x-m≥0化为，m≤（

1

a

）^x+（

1

b

）^x，只需m≤[（

1

a

）^x+（

1

b

）^x]_min即可，利用函数的y=（

1

a

）^x+（

1

b

）^x的单调性可求得其最小值．

解答： 解：（1）将A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a^x
得6=ab，24=ba³，
解得a=2，b=3．
（2）∵（

1

2

）^x+（

1

3

）^x-m≥0在x∈（-∞，1]时恒成立，
∴m≤（

1

2

）^x+（

1

3

）^x在x∈（-∞，1]时恒成立，
∴m≤[（

1

a

）^x+（

1

b

）^x]_min  x∈（-∞，1]，
令f（x）=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x x∈（-∞，1]，
任取x₁＜x₂≤1，
则f（x₁）-f（x₂）=(

1

2

)x1-(

1

2

)x2+(

1

3

)x1-(

1

3

)x2①
∵y=(

1

2

)x与y=(

1

3

)x在R上是减函数，
∴(

1

2

)x1＞(

1

2

)x2，（(

1

3

)x1＞(

1

3

)x2，
∴①式＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，1]上是减函数，
f（x）_min=f（1）=

5

6

，
∴m≤

5

6

．

点评：不等式恒成立问题，一般转化为函数的最值问题．求参数范围时一般先分离参数，然后研究不等式另一端函数式的最值．