Question

17．如图，在五面体ACDEF中，已知DE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=60°，AB=4，DE=EF=2．
（1）求证：BC∥EF；
（2）求三棱锥B-DEF的体积．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，得BC∥平面ADEF，由此能证明BC∥EF．
（2）在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，推导出BH是三棱锥B-DEF的高，由此能求出三棱锥B-DEF的体积．

解答 证明：（1）因为AD∥BC，AD?平面ADEF，BC?平面ADEF，
所以BC∥平面ADEF，…（3分）
又BC?平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF=EF，
所以BC∥EF． …（6分）
解：（2）在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，
因为DE⊥平面ABCD，BH?平面ABCD，所以DE⊥BH，
又AD，DE?平面ADEF，AD∩DE=D，
所以BH⊥平面ADEF，
所以BH是三棱锥B-DEF的高．…（9分）
在直角三角形ABH中，∠BAD=60°，AB=4，
所以BH=2$\sqrt{3}$，
因为DE⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以DE⊥AD，
又由（1）知，BC∥EF，且AD∥BC，
所以AD∥EF，所以DE⊥EF，…（12分）
所以三棱锥B-DEF的体积：
V=$\frac{1}{3}$×S_△DEF×BH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．  …（14分）

点评 本题考查线线平行的证明，考查三棱锥体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．