Question

13．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ex，g（x）=x-elnx．
（1）求函数g（x）的极值；
（2）若对任意的x∈[$\frac{1}{e}$，+∞），方程f（x）=ag（x）有且只有两个实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数和函数的单调性的关系即可求出，
（2）构造函数h（x）=f（x）-ag（x），根据导数和函数极值的关系，分类讨论即可求出

解答 解：（1）∵g（x）=x-elnx，x＞0
∴g′（x）=1-$\frac{e}{x}$，
当g′（x）＞0时，解得x＞e时，函数g（x）单调递增，
当g′（x）＜0时，解得0＜x＜e时，函数g（x）单调递减，
∴当x=e时，函数g（x）取得极小值，即为g（e）=e-e=0，无极大值，
（2）设h（x）=f（x）-ag（x），
∵方程f（x）=ag（x）有且只有两个实根，
∴h（x）=0在[$\frac{1}{e}$，+∞）上有且只有两个实根，
∴h′（x）=f′（x）-ag′（x）=x-e-a（1-$\frac{e}{x}$）=$\frac{（x-a）（x-e）}{x}$，
①当a≤$\frac{1}{e}$时，当h′（x）＞0时，即（x-a）（x-e）＞0，解得x＞e，函数h（x）单调递增，
当h′（x）＜0时，即（x-a）（x-e）＜0，解得$\frac{1}{e}$≤x＜e，函数h（x）单调递减，
∴h（x）_min=h（e）=-$\frac{1}{2}$e²＜0，
∵h（x）=0在[$\frac{1}{e}$，+∞）上有且只有两个实根，
∴h（$\frac{1}{e}$）≥0
∴$\frac{1}{2{e}^{2}}$-1-a（$\frac{1}{e}$+e）≥0，
解得a≤$\frac{1-2{e}^{2}}{2e（e+1）}$＜0，
②当$\frac{1}{e}$＜a＜e时，当h′（x）＞0时，解得$\frac{1}{e}$≤x＜a或x＞e，函数单调递增，
当h′（x）＜0时，解得a≤x＜e，函数单调递减，
∵h（e）=-$\frac{1}{2}$e²＜0，
当x=a时，函数有极大值，即为h（a）=$\frac{1}{2}$a²-ae-a²-e+aelna＜0，
∴h（x）=0只有一个根，不满足题意；
③当a=e，h（x）在[$\frac{1}{e}$，+∞）单调递增，
∴h（x）_min=$\frac{1}{2{e}^{2}}$-1-e（$\frac{1}{e}$+e）≤0，
∴h（x）=0在[$\frac{1}{e}$，+∞）只有一个根，不合题意；
④当a＞e时，当h′（x）＞0时，解得$\frac{1}{e}$≤x＜e或x＞a，函数单调递增，
当h′（x）＜0时，解得e≤x＜a，函数单调递减，
∴当x=e时，函数h（x）由极大值，极大值为h（e）=-$\frac{1}{2}$e²＜0，
∴h（x）=0只有一个根，不满足题意，
综上所述a的取值范围为（-∞，$\frac{1-2{e}^{2}}{2e（e+1）}$]．

点评 本题考查了导数和函数的单调性和极值、最值得关系和分类讨论的能力和运算能力，属于中档题．