Question

16．某公司从大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．                          
（1）如果用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是甲部门人选的概率是多少？
（2）若从所有甲部门人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．

Answer 1

分析 （1）用分层抽样的方法从“甲部门”和“乙部门”20人中抽取8人，每个人被抽中的概率是$\frac{8}{20}$=$\frac{2}{5}$．根据茎叶图，“甲部门”人选有10人，“乙部门”人选有10人．可得所以选中的“甲部门”人选，“乙部门”人选．设事件A“至少有一名甲部门人被选中”，其对立事件为$\overline{A}$．P（A）=1-P（$\overline{A}$）．
（2）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，利用“超几何分布”即可得出．

解答 解：（1）用分层抽样的方法从“甲部门”和“乙部门”20人中抽取8人，每个人被抽中的概率是$\frac{8}{20}$=$\frac{2}{5}$．
根据茎叶图，“甲部门”人选有10人，“乙部门”人选有10人．
所以选中的“甲部门”人选有$10×\frac{2}{5}$=4人，“乙部门”人选有10×$\frac{2}{5}$=4人．
设事件A“至少有一名甲部门人被选中”，其对立事件为$\overline{A}$．
P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-$\frac{{∁}_{4}^{3}}{{∁}_{8}^{3}}$=$\frac{13}{14}$．
因此，至少有1人是“甲部门”人选的概率是$\frac{13}{14}$．
（2）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{∁}_{6}^{0}{∁}_{4}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$，
P（X=1）=$\frac{{∁}_{6}^{1}{∁}_{4}^{2}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{{∁}_{6}^{3}{∁}_{4}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=3）=$\frac{{∁}_{6}^{3}{∁}_{4}^{0}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$．
因此，X的分布列如下：

所以X的数学期望EX=0×$\frac{1}{30}$+1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{6}$=$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查了超几何分布列其的数学期望计算公式、分层抽样、相互对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．