Question

有下列命题：
①在函数y=cos(x-

π

4

)cos(x+

π

4

)的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；
②函数y=

x+3

x-1

的图象关于点（-1，1）对称；
③“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的必要不充分条件；
④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则^?p是：存在x∈R，使得sinx＞1；
⑤在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则角C等于30°或150°．
其中所有真命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①，利用两角和与差的余弦公式及二倍角公式可将y=cos(x-

π

4

)cos(x+

π

4

)化为y=

1

2

cos2x，再利用余弦函数的性质可判断①；
②，由函数y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

的图象关于点（1，1）对称，可判断②；
③，利用“a+b=0”是“a=5或b=5”既不充分又不必要条件，可判断“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的既不充分又不必要条件，可判断③；
④，利用全称命题与特称命题之间的关系可判断④；
⑤，在△ABC中，由3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1可得到角C等于30°或150°，分类讨论后可判断⑤．

解答： 解：对于①，在函数y=cos(x-

π

4

)cos(x+

π

4

)=（

2

2

cosx+

2

2

sinx）（

2

2

cosx-

2

2

sinx）=

1

2

cos2x的图象中，其周期T=π，
相邻两个对称中心的距离为

1

2

T=

π

2

，故①错误；
对于②，函数y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

的图象关于点（1，1）对称，故②错误；
对于③，因为“a+b=0”是“a=5或b=5”既不充分又不必要条件，
所以，其逆否命题“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的既不充分也不必要条件，故③错误；
对于④，已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则^?p是：存在x∈R，使得sinx＞1，故④正确；
对于⑤，在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，
则（3sinA+4cosB）²+（4sinB+3cosA）²=6²+1²=37，整理可得sin（A+B）=

1

2

，
所以C=30°或150°．
当C=150°时，A+B=30°，3sinA+4cosB＜

1

2

×3+4＜6，与已知矛盾，故C≠150°，故⑤错误．
综上所述，正确命题为④．
故选：A．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查两角和与差的余弦公式及余弦函数的性质，考查充分必要条件、全称命题与特称命题的应用与解三角形，考查转化思想．