Question

设P点是曲线y=x³-

3

x+

2

3

上的任意一点，P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　）

• A、[0，

  π

  2

  )∪[

  2

  3

  π，π)
• B、[0，

  π

  2

  )∪[

  5

  6

  π，π)
• C、[

  2

  3

  π，π)
• D、(

  π

  2

  ，

  5

  6

  π)

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：求出曲线解析式的导函数，根据完全平方式大于等于0求出导函数的最小值，由曲线在P点切线的斜率为导函数的值，且直线的斜率等于其倾斜角的正切值，从而得到tanα的范围，由α的范围，根据正切函数的值域得到自变量α的范围．

解答： 解：∵y′=3x²-

3

≥-

3

，∴tanα≥-

3

，
又∵0≤α≤π，
∴0≤α＜

π

2

或

2π

3

≤α＜π．
则角α的取值范围是[0，

π

2

）∪[

2π

3

，π）．
故选A．

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用切线的斜率与倾斜角之间的关系k=tanα进行求解．