Question

已知顶点为原点O的抛物线C₁的焦点F与椭圆C2： 

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的右焦点重合C₁与C₂在第一和第四象限的交点分别为A、B．
（1）若△AOB是边长为2

3

的正三角形，求抛物线C₁的方程；
（2）若AF⊥OF，求椭圆C₂的离心率e；
（3）点P为椭圆C₂上的任一点，若直线AP、BP分别与x轴交于点M（m，0）和N（n，0），证探究：当a为常数时，mn是否为定值？请证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质,抛物线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）确定点A的坐标是(3，

3

)，代入抛物线的方程y²=4cx，求出c，即可求得抛物线C₁的方程；
（2）若AF⊥OF，可求A的坐标，代入抛物线的方程y²=4cx，结合b²=a²-c²，即可求椭圆C₂的离心率e；
（3）利用直线PA、PB的方程，令y=0得m，n的值，即可得到结论．

解答： 解：（1）设椭圆的右焦点为F（c，0），依题意得抛物线的方程为y²=4cx…（1分）
∵△AOB是边长为2

3

的正三角形，
∴点A的坐标是(3，

3

)，…（3分）
代入抛物线的方程y²=4cx解得c=

1

4

，
故所求抛物线C₁的方程为y²=x…（4分）
（2）∵AF⊥OF，∴点A的横坐标是c
代入椭圆方程解得y=±

b2

a

，即点A的坐标是(c，

b2

a

)…（5分）
∵点A在抛物线y²=4cx上，
∴

b4

a2

=4c2 ， 即b2=2ac，…（6分）
将b²=a²-c²代入上式整理得：(

c

a

)2+2•

c

a

-1=0，
即e²+2e-1=0，解得e=-1±

2

…（7分）
∵0＜e＜1，故所求椭圆C₂的离心率e=

2

-1．               …（8分）
（3）证明：设P（x₁，y₁），A（x₂，y₂），B（x₂，-y₂），
代入椭圆方程得

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1 ， 

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1…（9分）
而直线PA的方程为（x₂-x₁）（y-y₁）+（x-x₁）（y₁-y₂）=0…（10分）
令y=0得m=

x2y1-x1y2

y1-y2

．                                  …（11分）
在m=

x2y1-x1y2

y1-y2

中，以-y₂代换y₂得n=

x2y1+x1y2

y1+y2

…（12分）
∴mn=

x2y1+x1y2

y1+y2

•

x2y1-x1y2

y1-y2

=

x 2 2 y 2 1 - x 2 1 y 2 2

y 2 1 - y 2 2

=

a2(1- y 2 2 b2 ) y 2 1 -a2(1- y 2 1 b2 ) y 2 2

y 2 1 - y 2 2

=a2
∴当a为常数时，mn是定值．                               …（14分）

点评：本题考查抛物线的方程，考查椭圆的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．