Question

已知函f（x）=2sin（x+

α

2

）cos（x+

α

2

）+2

3

cos²（x+

α

2

）-

3

为偶函数，且α∈[0，π]．
（Ⅰ）求α的值；
（Ⅱ）若x为三角形ABC的一个内角，求满足f（x）=1的x的值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,函数奇偶性的性质

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用辅助角公式将函数f（x）进行化简，即可求α的值；
（Ⅱ）若x为三角形ABC的一个内角，解方程f（x）=1，即可求的x的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x+

α

2

）cos（x+

α

2

）+2

3

cos²（x+

α

2

）-

3

=sin（2x+α）+

3

cos（2x+α）=2sin（2x+α+

π

3

），
若f（x）为偶函数，则α+

π

3

=kπ+

π

2

，
即α=kπ+

π

6

，k∈Z，
∵α∈[0，π]．
∴α=

π

6

；
（Ⅱ）∵α=

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

+

π

3

）=2cos2x，
若x为三角形ABC的一个内角，由f（x）=1得
cos2x=

1

2

，
则2x=

π

3

或2x=

5π

3

，
解得x=

π

6

或x=

5π

6

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的奇偶性求出α是解决本题的关键．