Question

20．在数列{a_n}，{b_n}中，已知a₁=1，b₁=2，且-a_n，b_n，a_n+1成等差数列，-b_n，a_n，b_n+1也成等差数列．
（1）求证：{a_n+b_n}是等比数列；
（2）若c_n=（2a_n-3ⁿ）log₃[2a_n-（-1）ⁿ]，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过等差中项可知b_n=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{2}$、a_n=$\frac{{b}_{n+1}-{b}_{n}}{2}$，两式相加整理即得结论；
（2）通过（1）可知b_n=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{2}$、a_n=$\frac{{b}_{n+1}-{b}_{n}}{2}$，两式相减可知b_n-a_n=（-1）ⁿ⁺¹，并与b_n+a_n=3ⁿ作差整理得2a_n=3ⁿ-（-1）ⁿ⁺¹，从而c_n=（-1）ⁿ•n，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 （1）证明：∵-a_n，b_n，a_n+1成等差数列，-b_n，a_n，b_n+1也成等差数列，
∴b_n=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{2}$，a_n=$\frac{{b}_{n+1}-{b}_{n}}{2}$，
∴a_n+b_n=$\frac{1}{2}$[（a_n+1+b_n+1）-（a_n+b_n）]，即a_n+1+b_n+1=3（a_n+b_n），
又∵a₁+b₁=1+2=3，
∴数列{a_n+b_n}是首项、公比均为3的等比数列；
（2）解：由（1）可知：b_n=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{2}$、a_n=$\frac{{b}_{n+1}-{b}_{n}}{2}$，
两式相减得：-a_n+b_n=$\frac{1}{2}$[（a_n+1-b_n+1）+（-a_n+b_n）]，即a_n+1-b_n+1=-（a_n-b_n），
又∵-a₁+b₁=-1+2=1，
∴数列{b_n-a_n}是首项为1、公比均为-1的等比数列，
∴b_n-a_n=（-1）ⁿ⁺¹，
又∵b_n+a_n=3ⁿ，
∴a_n=$\frac{（{b}_{n}+{a}_{n}）-（{b}_{n}-{a}_{n}）}{2}$=$\frac{1}{2}$[3ⁿ-（-1）ⁿ⁺¹]，
又∵c_n=（2a_n-3ⁿ）log₃[2a_n-（-1）ⁿ]
=[3ⁿ-（-1）ⁿ⁺¹-3ⁿ]log₃[3ⁿ-（-1）ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ]
=（-1）ⁿ•n，
∴T_n=-1+2-3+4-…+（-1）ⁿ•n，
-T_n=1-2+3-4+…+（-1）ⁿ•（n-1）+（-1）ⁿ⁺¹•n，
两式相减得：2T_n=-1+1-1+1-…-1-（-1）ⁿ⁺¹•n，
∴T_n=$\frac{1}{2}${$\frac{-[1-（-1）^{n}]}{1-（-1）}$+（-1）ⁿ•n}
=$\frac{1}{2}${-$\frac{1}{2}$[1-（-1）ⁿ]+（-1）ⁿ•n}
=（-1）ⁿ•$\frac{2n+1}{4}$-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．