Question

11．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-6n，则数列{|a_n|}的前n项T_n=$\left\{\begin{array}{l}{6n-{n}^{2}，n≤3}\\{{n}^{2}-6n+18，n≥4}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 先求出由a_n=2n-7≥0，当n≤3时，数列{|a_n|}的前n项T_n=-S_n；当n≥4时，数列{|a_n|}的前n项T_n=S_n-2S₃，由此能求出结果．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和S_n=n²-6n，
∴a₁=S₁=1-6=-5，
a_n=S_n-S_n-1=（n²-6n）-[（n-1）²-6（n-1）]=2n-7，
n=1时，上式成立，∴a_n=2n-7，
由a_n=2n-7≥0，得n$≥\frac{7}{2}$，a₃=-1，a₄=1，
∴当n≤3时，数列{|a_n|}的前n项T_n=-S_n=6n-n²，
当n≥4时，数列{|a_n|}的前n项：
T_n=S_n-2S₃=n²-6n+18．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{6n-{n}^{2}，n≤3}\\{{n}^{2}-6n+18，n≥4}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{6n-{n}^{2}，n≤3}\\{{n}^{2}-6n+18，n≥4}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$的合理运用．