Question

20．已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y²-2y+3）+f（x²-4x+1）≤0，则当y≥1时，$\frac{x+y+1}{x+1}$的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{5}{4}$，$\frac{7}{4}$]
• B． [0，$\frac{7}{4}$]
• C． [$\frac{5}{4}$，$\frac{7}{3}$]
• D． [1，$\frac{7}{3}$]

Answer 1

分析 判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和$\frac{y}{x+1}$的几何意义即可得到结论．

解答 解：∵f（x）=x+sinx（x∈R），
∴f（-x）=-x-sinx=-（x+sinx）=-f（x），
即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数．
∵f（y²-2y+3）+f（x²-4x+1）≤0，
∴f（y²-2y+3）≤-f（x²-4x+1）=f[-（x²-4x+1）]，
由f′（x）=1+cosx≥0，∴函数单调递增．
∴（y²-2y+3）≤-（x²-4x+1），
即（y²-2y+3）+（x²-4x+1）≤0，
∴（y-1）²+（x-2）²≤1，∵当y≥1时，$\frac{x+y+1}{x+1}$=1+$\frac{y-0}{x+1}$，
∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．
而$\frac{y}{x+1}$的几何意义为动点P（x，y）到定点A（-1，0）的斜率的取值范围．
设k=$\frac{y}{x+1}$，（k＞0），则y=kx+k，即kx-y+k=0．
当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d=$\frac{|2k-1+k|}{\sqrt{{1+k}^{2}}}$=$\frac{|3k-1|}{\sqrt{{1+k}^{2}}}$=1
即8k²-6k=0，解得k=$\frac{3}{4}$．此时直线斜率最大．
当直线kx-y+k=0经过点B（3，1）时，直线斜率最小，
此时3k-1+k=0，即4k=1，解得k=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{4}$≤k≤$\frac{3}{4}$，故 $\frac{x+y+1}{x+1}$=1+$\frac{y-0}{x+1}$=1+k的取值范围是[$\frac{5}{4}$，$\frac{7}{4}$]．
故选：A

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，函数奇偶性和单调性的判断以及直线斜率的取值范围，综合性较强，运算量较大，利用数形结合是解决本题的基本思想，属于中档题．