题目内容
已知函数簇 fn（x）=x2-2（n+1）x+n2+5n-7（n∈N*）．
（1）设曲线列Cn：y=fn（x）的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：数列{an}为等差数列；
（2）设曲线列Cn：y=fn（x）的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，Sn为数列{bn}的前n项和，求S20．
（1）设曲线列Cn：y=fn（x）的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：数列{an}为等差数列；
（2）设曲线列Cn：y=fn（x）的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，Sn为数列{bn}的前n项和，求S20．
考点：数列的求和,等差数列的性质
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）配方，确定函数y=f（x）的图象的顶点的纵坐标，从而可求数列{an}的通项，再证明为等差数列；
（2）确定数列{bn}的通项，进而可分段求出{bn}的前n项和Sn．
（2）确定数列{bn}的通项，进而可分段求出{bn}的前n项和Sn．
解答：
（1）证明：∵f（x）=x2-2（n+1）x+n2+5n-7=[x-（n+1）]2+3n-8，
∴an=3n-8，
∴an+1-an=3（n+1）-8-（3n-8）=3，
∴数列{an}为等差数列．
（2）解：由题意知，bn=|an|=|3n-8|，
∴当1≤n≤2时，bn=8-3n，
sn=b1+b2+b3+…+bn=
=
=
；
当n≥3时，bn=3n-8，Sn=b1+b2+b3+…+bn=5+2+1+…+（3n-8）=7+
=
．
∴sn=
．
∴s20=
=484．
∴an=3n-8，
∴an+1-an=3（n+1）-8-（3n-8）=3，
∴数列{an}为等差数列．
（2）解：由题意知，bn=|an|=|3n-8|，
∴当1≤n≤2时，bn=8-3n，
sn=b1+b2+b3+…+bn=
| n(b1+bn) |
| 2 |
| n[5+(8-3n)] |
| 2 |
| 13n-3n2 |
| 2 |
当n≥3时，bn=3n-8，Sn=b1+b2+b3+…+bn=5+2+1+…+（3n-8）=7+
| (n-2)[1+(3n-8)] |
| 2 |
| 3n2-13n+28 |
| 2 |
∴sn=
|
∴s20=
| 3×202-13×20+28 |
| 2 |
点评：本题考查数列与函数的关系，考查等差数列的证明，考查数列的求和，考查分类讨论的数学思想，正确求数列的通项是关键．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象如下，则f（x）的解析式为（ ）
A、f(x)=2sin(2x+
| ||
B、f(x)=2sin(2x-
| ||
C、f(x)=2sin(2x+
| ||
D、f(x)=2sin(2x-
|
设函数f（x）=xlnx，则（ ）
| A、x=1为f（x）的极大值点 | ||
| B、x=1为f（x）的极小值点 | ||
C、x=
| ||
D、x=
|