题目内容
设a≥0，函数f（x）=x-1-ln2x+2alnx，令F（x）=xf′（x），讨论F（x）在（0，+∞）内的单调性并求极值．
考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值
专题：导数的概念及应用
分析：先求出f′（x），进一步得到F（x），然后对函数F′（x）求导数，通过研究导数的符号确定原函数的单调性，并求出极值．
解答：
解：由已知得f′(x)=1-
+
，
所以F（x）=xf′（x）=x-2lnx+2a．（x＞0）
所以F′（x）=1-
．
令F′（x）＞0，得x＞2；F′（x）＜0，得0＜x＜2．
故函数F（x）在（0，2）上递减，在（2，+∞）上递增．
所以x=2是函数F（x）的极小值点，
所以F（x）极小=F（2）=2+2a-2ln2．
| 2lnx |
| x |
| 2a |
| x |
所以F（x）=xf′（x）=x-2lnx+2a．（x＞0）
所以F′（x）=1-
| 2 |
| x |
令F′（x）＞0，得x＞2；F′（x）＜0，得0＜x＜2．
故函数F（x）在（0，2）上递减，在（2，+∞）上递增．
所以x=2是函数F（x）的极小值点，
所以F（x）极小=F（2）=2+2a-2ln2．
点评：本题考查了导数的计算、利用导数研究函数的极值等问题．属于基础题，难度不大．要注意计算准确．
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