Question

已知a＞0，b＞0，且a²+b²=

9

2

，若a+b≤m恒成立，
（Ⅰ）求m的最小值；
（Ⅱ）若2|x-1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式,函数的最值及其几何意义,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）变形已知表达式，利用柯西不等式，求出a+b的最大值，即可求m的最小值；
（Ⅱ）通过2|x-1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，结合（Ⅰ）的结果，利用x的范围分类讨论，求出实数x的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a²+b²=

9

2

，
∴9=（a²+b²）（1²+1²）≥（a+b）²，
∴a+b≤3，（当且仅当a=b，即a=b=

3

2

时取等号），
又∵a+b≤m恒成立，∴m≥3．
故m的最小值为3；
（Ⅱ）要使2|x-1|+|x|≥a+b恒成立，则2|x-1|+|x|≥3恒成立，
∴

x≤0 -2x+2-x≥3

或

0＜x≤1 -2x+2+x≥3

或

x＞1 2x-2+x≥3

，
解得：x≤-

1

3

或x≥

5

3

．
∴实数x的取值范围是(-∞，-

1

3

]∪[

5

3

，+∞)．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，函数恒成立的应用，考查计算能力，是中档题．