题目内容
底面ABCD为一个矩形，其中AB=6，AD=4．顶部线段EF∥平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=6| 2 |
| ||
| 17 |
（I）证明：BC⊥平面EFNM；
（Ⅱ）求平面BEF和平面CEF所成锐二面角的余弦值．
考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）根据线面平行的性质得出EF∥AB，MN∥AB，MN∥EF，E，F，N，M四点共面，由BC⊥MN，且
得证．
（2）确定角为∠SFQ是二面角B-EF-C的平面角，在△SFQ中，tan∠SFQ=tan（π-∠FSQ-∠FQS）=-
=
，运用三角函数即可求解余弦值．
|
（2）确定角为∠SFQ是二面角B-EF-C的平面角，在△SFQ中，tan∠SFQ=tan（π-∠FSQ-∠FQS）=-
| tan∠FSQ+tan∠FQS |
| 1-tan∠FSQ•tan∠FQS |
| 8 |
| 15 |
解答：
证明：（1）∴EF∥平面ABCD，且EF?平面EFAB，
又平面ABCD∩平面EFAB=AB，
∴EF∥AB
又M，N是平行四边形两边AD，BC的中点，
∴MN∥AB∴MN∥EF，
∴E，F，N，M四点共面，
∵FB=FC，∴BC⊥MN，
且
∴BC⊥平面EFNM；
解：（2）在平面EFNM内F作MN的垂线，垂足为H，则由（1）可知：
BC⊥平面EFNM；平面ABCD⊥平面EFNM；
∴FH⊥平面EFNM；
∵FB⊥BC，HN⊥BC，
∴二面角F-BC-A的平面角为∠FNH，
Rt△FNB，Rt△FNH中FN=
=
，HN=FNcos∠FNH=
×
=2，
∴FH=8，过H作AB，CD的垂线，垂足为S，Q．连接FN，FS，FQ，
∴∠SFQ∴∠SFQ是二面角B-EF-C的平面角，
是二面角B-EF-C的平面角，
有图可知，AB⊥SQ，AB⊥FH，
∴AB⊥平面FSQ，由（1）知EF∥AB，∴EF⊥平面FSQ，
∴∠SFQ是二面角B-EF-C的平面角，
∴在△SFQ中，tan∠SFQ=tan（π-∠FSQ-∠FQS）=-
=
，
∴COS∠QFS=
，
平面BEF和平面CEF所成锐二面角的余弦值为
．
又平面ABCD∩平面EFAB=AB，
∴EF∥AB
又M，N是平行四边形两边AD，BC的中点，
∴MN∥AB∴MN∥EF，
∴E，F，N，M四点共面，
∵FB=FC，∴BC⊥MN，
且
|
∴BC⊥平面EFNM；
解：（2）在平面EFNM内F作MN的垂线，垂足为H，则由（1）可知：
BC⊥平面EFNM；平面ABCD⊥平面EFNM；
∴FH⊥平面EFNM；
∵FB⊥BC，HN⊥BC，
∴二面角F-BC-A的平面角为∠FNH，
Rt△FNB，Rt△FNH中FN=
| FB2-BN2 |
| 68 |
| 68 |
| ||
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∴FH=8，过H作AB，CD的垂线，垂足为S，Q．连接FN，FS，FQ，
∴
∠SFQ∴∠SFQ是二面角B-EF-C的平面角，是二面角B-EF-C的平面角，
有图可知，AB⊥SQ，AB⊥FH，
∴AB⊥平面FSQ，由（1）知EF∥AB，∴EF⊥平面FSQ，
∴∠SFQ是二面角B-EF-C的平面角，
∴在△SFQ中，tan∠SFQ=tan（π-∠FSQ-∠FQS）=-
| tan∠FSQ+tan∠FQS |
| 1-tan∠FSQ•tan∠FQS |
| 8 |
| 15 |
∴COS∠QFS=
| 15 |
| 17 |
平面BEF和平面CEF所成锐二面角的余弦值为
| 15 |
| 17 |
点评：本题考查了空间直线，平面的平行，垂直，夹角问题，转化到三角形求解，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
=（-2，2，0），
=（1，0，-1），则它们的夹角是（ ）
| a |
| b |
| A、30° | B、45° |
| C、60° | D、120° |