Question

设方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0的根分别为p和q，设函数f（x）=（x+p）（x+q）+2，则（　　）

• A、f（2）=f（0）＜f（3）
• B、f（0）＜f（2）＜f（3）
• C、f（3）＜f（0）=f（2）
• D、f（0）＜f（3）＜f（2）

Answer 1

考点：反函数

专题：函数的性质及应用

分析：由于方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0的根分别为函数y=2^x，y=log₂x与直线y=-x-2的交点横坐标，而函数y=2^x，y=log₂x互为反函数，其图象关于y=x对称，又直线y=-x-2与直线y=x垂直，且两直线的交点坐标为（-1，-1），可得p+q=-2，于是f（x）=x²+（p+q）x+pq+2=x²-2x+pq+2，利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0的根分别为函数y=2^x，y=log₂x与直线y=-x-2的交点横坐标，
而函数y=2^x，y=log₂x互为反函数，其图象关于y=x对称，
又直线y=-x-2与直线y=x垂直，且两直线的交点坐标为（-1，-1），
∴p+q=-2，
则f（x）=x²+（p+q）x+pq+2=x²-2x+pq+2，
∵该二次函数的对称轴为x=1，
∴f（2）=f（0）＜f（3）．
故选：A．

点评：本题考查了同底的指数函数与对数函数互为反函数其图象关于直线y=x对称、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．