Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上的点P向x轴作垂线恰好通过双曲线的左焦点F₁，双曲线的虚轴端点B与右焦点F₂的连线平行于PO，如图．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若直线BF₂与双曲线交于M、N两点，且|MN|=12，求双曲线的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出双曲线的焦点和虚轴端点B，令x=-c，求得P的坐标，再由两直线平行的条件，可得a=b，再由离心率公式计算即可得到；
（2）设直线BF₂的方程，代入双曲线的方程，消去y，得x的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到c=2

2

．进而得到a=b=2，即有双曲线的方程．

解答： 解：（1）设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），
且设B（0，b），
令x=-c，则

c2

a2

-

y2

b2

=1，解得y=±

b2

a

，
可取P（-c，

b2

a

），由PO∥BF₂，可得-

b2

ac

=

b

-c

，
即有a=b，c=

a2+b2

=

2

a，
则双曲线的离心率e=

c

a

=

2

；
（2）设直线BF₂的方程为y=-

b

c

（x-c），即为y=-

2

2

（x-c），
代入双曲线方程可得

1

2

x²+cx-

1

2

c²-a²=0，
即为x²+2cx-2c²=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=-2c，x₁x₂=-2c²，
则|MN|=

1+ 1 2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

6

2

•

4c2+8c2

=3

2

c=12，
解得c=2

2

．
则有a=b=2，
即有双曲线的方程为x²-y²=4．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式的运用，运用直线方程和双曲线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，是解题的关键，属于中档题．