Question

已知tan

α

2

=

1

2

，sin（α+β）=

5

13

，α，β∈（0，π），求cosβ．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：由二倍角的正切公式和tan

α

2

=

1

2

求出tanα的值，利用α的范围、同角三角函数的基本关系求出sinα、cosα，并由三角函数值进一步缩小“α+β”的范围，由平方关系求出cos（α+β）的值，再由两角差的余弦公式和“β=（α+β）-α”求出cosβ．

解答： 解：因为tan

α

2

=

1

2

，所以tanα=

2tan α 2

1-tan2 α 2

=

2× 1 2

1- 1 4

=

4

3

＞0，
因为α∈（0，π），所以

sinα＞0 cosα＞0 sinα cosα = 4 3 sin2α+cos2α=1

，
解得sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，
因为α∈（0，π），tanα=

4

3

∈（1，

3

），
所以

π

4

＜α＜

π

3

，
由β∈（0，π）得

π

4

＜α+β＜

4π

3

，
因为sin（α+β）=

5

13

＜

1

2

，则

5π

6

＜α+β＜π，
所以cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

12

13

，
则cosβ=[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=-

12

13

×

3

5

+

5

13

×

4

5

=-

16

65

．

点评：本题考查二倍角的正切公式，两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，三角函数值的符号，注意利用三角函数值进一步确定角的范围，以及利用角之间的关系，属于中档题．