Question

已知函数f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集为[-2，3]，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m-f（-n）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）原不等式可化为|2x-a|≤6-a，解得a-3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[-2，3]，可得a-3=-2，从而求得a的值；
（2）由题意可得|2n-1|+|2n+1|+2≤m，将函数y=|2n-1|+|2n+1|+2，写成分段形式，求得y的最小值，从而求得m的范围．

解答： 解：（1）原不等式可化为|2x-a|≤6-a，
∴

6-a≥0 a-6≤2x-a≤6-a

，
解得a-3≤x≤3．
再根据不等式f（x）≤6的解集为[-2，3]，可得a-3=-2，
∴a=1．
（2）∵f（x）=|2x-1|+1，f（n）≤m-f（-n），
∴|2n-1|+1≤m-（|-2n-1|+1），
∴|2n-1|+|2n+1|+2≤m，
∵y=|2n-1|+|2n+1|+2=

4n+2，n≥ 1 2 4，- 1 2 ＜n＜ 1 2 2-4n，n≤- 1 2

，
∴y_min=4，
由存在实数n，使得f（n）≤m-f（-n）成立，
∴m≥4，即m的范围是[4，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于中档题．