Question

已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2

3

sin²ωx-

3

（ω＞0）的最小正周期是π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移

π

3

个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的解析式及其在[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用二倍角三角函数公式和辅助角公式化简，化简函数的解析式，再由三角函数的周期公式求出ω，求出函数的解析式，利用正弦函数的单调区间公式，即可得到单调递增区间；
（II）根据函数图象平移的公式，得出函数g（x）的解析式，求出函数的相位的范围，利用正弦函数的值域求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，得
函数f（x）=2sinωxcosωx+2

3

sin²ωx-

3

=sin2ωx-

3

cos2ωx=2sin（2ωx-

π

3

），函数f（x）ω＞0的最小正周期是π，
∴

2π

2ω

=π，
∴ω=1．
∴f（x）=2sin（2x-

π

3

）．
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．
（II）将函数f（x）的图象向左平移

π

3

个单位，再向上平移1个单位，
得到函数y=g（x）=2sin（2x+

π

3

）+1．
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
当2x+

π

3

=

π

2

时，即x=

π

12

时，函数取得最大值：3．
当2x+

π

3

=

4π

3

时，即x=

π

2

时，函数取得最小值：1-

3

．
∴y=g（x）在[0，

π

2

]上的值域为[1-

3

，3]．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，辅助角公式的应用，三角函数的单调区间以及三角函数的最值的求法，考查计算能力．