Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）（c＞0）做圆x²+y²=

b2

4

的切线，切点为M，直线FM交双曲线的左支于N，若向量

FM

=

MN

，则此双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设双曲线是左焦点为F'（-c，0 ），连接NF'，由向量

FM

=

MN

，可得切点M为线段FN的中点，且OM⊥FN，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到b²=4a²，再由离心率公式，计算即可得到结论．

解答： 解：设双曲线是左焦点为F'（-c，0 ），连接NF'，
由向量

FM

=

MN

，
可得切点M为线段FN的中点，且OM⊥FN，
又O为FF'的中点，
由中位线定理可得OM∥NF'，且|NF'|=2|OM|=2×

b

2

=b，
NF⊥NF'，
由勾股定理可得|NF|²+|NF'|²=|FF'|²，
由双曲线的定义可得|NF|-|NF'|=2a，
则|NF|=2a+b，
即有（2a+b）²+b²=4c²，
即4（c²-a²）=2b²+4ab，
即为b²=4a²，
即c²=5a²，
则e=

c

a

=

5

．
故答案为：

5

．

点评：本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，主要考查离心率的求法，运用中位线定理和判断FNF'为直角三角形是解题的关键．