Question

7．已知F₁，F₂分别为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，B为椭圆上顶点，△BF₁F₂为正三角形，且P为椭圆上一点，A（0，2$\sqrt{2}$）为椭圆外一点，|PA|-|PF₂|的最小值为-1，过点F₂且垂直于x轴的直线交椭圆于C，D，直线l₁：y=mx+n与圆x²+y²=3相切并且交椭圆于M，N（M，N在直线CD的两侧）两点．
（1）求椭圆的方程．
（2）当四边形CMDN的面积最大时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设F₁（-c，0），F₂（c，0），B（0，b），由题意可得a=2c，再由椭圆的定义和三点共线取得最小值，可得$\sqrt{{c}^{2}+8}$-2a=-1，解方程可得a=2，c=1，求得b，进而得到椭圆方程；
（2）运用直线和圆相切的条件：d=r，求得|CD|=3，联立直线l的方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由四边形CMDN的面积S=$\frac{1}{2}$|CD|•|x₁-x₂|，化简整理，运用基本不等式可得最大值及等号成立的条件，求得直线l的方程．

解答 解：（1）设F₁（-c，0），F₂（c，0），B（0，b），
由△BF₁F₂为正三角形，可得|BF₁|=|F₁F₂|，
即有a=2c，①
由椭圆的定义可得2a=|PF₁|+|PF₂|，
即|PF₂|=2a-|PF₁|，
则|PA|-|PF₂|=|PA|-（2a-|PF₁|）=|PA|+|PF₁|-2a，
≥|AF₁|-2a=$\sqrt{{c}^{2}+8}$-2a，
当A，P，F₁共线时，|PA|+|PF₁|取得最小值，
即有$\sqrt{{c}^{2}+8}$-2a=-1，②
由①②可得c=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，
可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由直线l：y=mx+n与圆x²+y²=3相切，
可得$\frac{|n|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，即为n²=3+3m²，
令x=1可得y=±$\sqrt{3（1-\frac{1}{4}）}$=±$\frac{3}{2}$，即|CD|=3，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$可得（3+4m²）x²+8mnx+4n²-12=0，
即有△=64m²n²-4（3+4m²）（4n²-12）＞0，化为3+4m²＞n²，
可得3+3m²＜3+4m²，即有m≠0，
x₁+x₂=-$\frac{8mn}{3+4{m}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{n}^{2}-12}{3+4{m}^{2}}$，
|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{64{m}^{2}{n}^{2}}{（4{m}^{2}+3）^{2}}-\frac{4（4{n}^{2}-12）}{3+4{m}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{3}|m|}{3+4{m}^{2}}$，
则四边形CMDN的面积S=$\frac{1}{2}$|CD|•|x₁-x₂|=$\frac{1}{2}$•3•$\frac{4\sqrt{3}|m|}{3+4{m}^{2}}$
=$\frac{6\sqrt{3}}{\frac{3}{|m|}+4|m|}$≤$\frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{12}}$=$\frac{3}{2}$．
当且仅当4|m|=$\frac{3}{|m|}$，即m=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，取得最大值，此时n²=3+$\frac{9}{4}$，
可得n=±$\frac{\sqrt{21}}{2}$，检验可得直线y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{21}}{2}$和y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{\sqrt{21}}{2}$，符合题意．
（直线y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{\sqrt{21}}{2}$和y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{21}}{2}$与椭圆交于M，N不在CD的两侧，舍去）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和三点共线取得最小值，考查四边形面积的最大值及直线方程的求法，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．