题目内容
16．数列{an}满足a1=1，且对任意的n∈N+都有an+1=a1+an+n，则{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前100项和为（ ）| A． | $\frac{100}{101}$ | B． | $\frac{99}{100}$ | C． | $\frac{101}{100}$ | D． | $\frac{200}{101}$ |
分析 先根据累加法求数列的通项公式an=$\frac{n（n+1）}{2}$，再裂项$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），即可求前100项和．
解答 解：数列{an}满足a1=1，且对任意的n∈N+都有an+1=a1+an+n，
∴an+1-an=1+n，
∴an-an-1=n，
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=n+（n-1）+…+2+1=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前100项和2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$）=2（1-$\frac{1}{101}$）=$\frac{200}{101}$，
故选：D．
点评 本题考查了累加法求数列的通项公式和裂项法求前n项和，属于中档题．
练习册系列答案
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4．若函数f（x）=3sin（2x+θ）（0＜θ＜π）是偶函数，则f（x）在[0，π]上的递增区间是（ ）
| A． | [0，$\frac{π}{2}$] | B． | [$\frac{π}{2}$，π] | C． | [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$] | D． | [$\frac{3π}{4}$，π] |