题目内容
已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，1）时，f（x）=
．
（1）求y=f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）证明：y=f（x）在（0，1）上是减函数．
| 2x |
| 4x+1 |
（1）求y=f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）证明：y=f（x）在（0，1）上是减函数．
考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明
专题：计算题,证明题,函数的性质及应用
分析：（1）由奇函数的定义，可得f（0）=0，当-1＜x＜0时，则0＜-x＜1，由已知解析式，化简整理结合奇函数的定义即可得到所求；
（2）运用单调性的定义证明，注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤．
（2）运用单调性的定义证明，注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤．
解答：
（1）解：y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，
当-1＜x＜0时，则0＜-x＜1，则有f（-x）=
=
，
又f（-x）=-f（x），
则f（x）=-
，（-1＜x＜0），
则y=f（x）在（-1，1）上的解析式为f（x）=
；
（2）证明：设0＜m＜n＜1，则f（m）-f（n）=
-
=
=
，
由于0＜m＜n＜1，则2m＜2n，2m+n＞1，即有2n-2m＞0，2m+n-1＞0，
则f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n）．
则y=f（x）在（0，1）上是减函数．
当-1＜x＜0时，则0＜-x＜1，则有f（-x）=
| 2-x |
| 4-x+1 |
| 2x |
| 4x+1 |
又f（-x）=-f（x），
则f（x）=-
| 2x |
| 4x+1 |
则y=f（x）在（-1，1）上的解析式为f（x）=
|
（2）证明：设0＜m＜n＜1，则f（m）-f（n）=
| 2m |
| 4m+1 |
| 2n |
| 4n+1 |
=
| 2m+2n+2m-22m+n-2n |
| (4m+1)(4n+1) |
| (2n-2m)(2m+n-1) |
| (4m+1)(4n+1) |
由于0＜m＜n＜1，则2m＜2n，2m+n＞1，即有2n-2m＞0，2m+n-1＞0，
则f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n）．
则y=f（x）在（0，1）上是减函数．
点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明以及运用，考查函数解析式的求法，考查定义法的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．
练习册系列答案
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已知双曲线
-y2=1（a＞0）的左焦点与抛物线y2=-12x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ）
| x2 |
| a2 |
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| ||||
B、y=±
| ||||
C、y=±2
| ||||
D、y=±
|
若函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数，则有（ ）
| A、f（0）=g（0） |
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如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
已知a=1.270.2，b=log0.3（tan46°），c=2sin29°，则a，b，c的大小关系是（ ）
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