Question

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=2x²+3ax+1，其中a＞0．
（1）若f（x）在x≥1上是单调函数，求a的取值范围；
（2）若f（0）=g（0），求函数h（x）=f（x）+g（x），x≥1的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由绝对值函数的对称轴，可得f（x）在x≥a上递增，即可判断f（x）在x≥1上为增函数，即可得到a的范围；
（2）由f（0）=g（0）可得a=1，进而得到函数h（x）的解析式，运用二次函数的值域，即可得到所求值域．

解答： 解：（1）函数f（x）=|x-a|的对称轴为x=a，
f（x）在x≥a上递增，
则由题意可得，f（x）在x≥1上是单调函数，且为增函数，
则有a≤1，
即a的取值范围为（-∞，1]；
（2）f（0）=g（0），即为|a|=1，解得a=1（-1舍去），
函数h（x）=f（x）+g（x）=|x-1|+2x²+3x+1，
由于x≥1，则h（x）=x-1+2x²+3x+1=2x²+4x
=2（x+1）²-2，
则在x≥1上递增，则h（x）≥6，
即有函数的值域为[6，+∞）．

点评：本题考查函数的单调性的运用，考查二次函数的值域，考查绝对值函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题．