Question

已知函数f（x）=aln（x+1）+

1

2

x²-ax+1（a＞0）．
（1）求函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a＞1时，求函数y=f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由导数的定义，导数在点（0，f（0））处的函数值，即为切线的斜率，再由直线的点斜式写出方程，
（2）求出函数的导数，由f′（x）＞0解得x的范围，即是函数的单调增区间，由f′（x）＜0解得x的范围，即是函数的单调减区间，从而求出极值．

解答： 解：（1）f（0）=1，f′（x）=

a

x+1

+x-a=

x(x-a+1)

x+1

，f′（0）=0
∴函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（2）函数的定义域为（-1，+∞），令f′（x）=0，得

x(x-a+1)

x+1

=0，解得x=0，x=a-1
∵a＞1，∴a-1＞0
当x∈（-1，0）和（a-1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（0，a-1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）的单调递增区间是（-1，0）和（a-1，+∞），单调递减区间是（0，a-1），
极大值为f（0）=1，极小值为f（a-1）=alna-

1

2

a2+

3

2

．

点评：本题考查利用导数求函数的切线方程，求函数的单调区间和极值，属于中档题．