Question

如图，已知四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，CD=2，PA=AD=AB=1，E为PC的中点．
（1）求证：EB∥平面PAD；
（2）求直线BD与平面PCD所成的角；
（3）求二面角A-PC-D的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取PD的中点F，连结AF、EF，由已知条件得四边形ABEF为平行四边形，由此能证明EB∥平面PAD．
（2）由已知得平面PAD⊥平面ABCD，从而平面PCD⊥平面PAD，连结DE，则∠BDE为直线BD与平面PCD所成的角，由此能求出直线BD与平面PCD所成的角．
（3）过F作FG⊥PC于G，连结AG，由三垂线定理得，AG⊥PC，则∠FGA为二面角A-PC-D的平面角，由此能求出二面角A-PC-D的大小．

解答： （1）证明：取PD的中点F，连结AF、EF，
则EF

∥

.

 

1

2

CD，又BA

∥

.

1

2

CD，
∴EF

∥

.

BA，（2分）
∴四边形ABEF为平行四边形，∴EB∥FA，
又∵EB?平面PAD，FA?平面PAD，
∴EB∥平面PAD．（4分）
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，
又∵CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，又CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD，
∵PA=AD，F为PD的中点，
∴AF⊥PD，
∴AF⊥平面PCD，又∵BE∥AF，∴BE⊥平面PCD，
连结DE，则∠BDE为直线BD与平面PCD所成的角，（6分）
在Rt△PCD中，
∴在Rt△ABD中，BD=

AD2+AB2

=

2

，
∴在Rt△BDE中，cosBDE=

DE

BD

=

6 2

2

=

3

2

，
∴∠BDE=30°，
即直线BD与平面PCD所成的角为30°．（8分）
（3）解：过F作FG⊥PC于G，连结AG，由三垂线定理得，AG⊥PC，
∴∠FGA为二面角A-PC-D的平面角，（10分）
∵Rt△PFG∽Rt△PCD，
∴

FG

CD

=

PF

PC

，
∴FG=

CD•PF

PC

=

2× 2 2

6

=

1

3

，
在Rt△AFG中，tanFGA=

AF

FG

=

2 2

1 3

=

6

2

，
∴∠FGA=arctan

6

2

，
即二面角A-PC-D的大小为arctan

6

2

．（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成的角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．