Question

对于函数f（x），若存在实数a，使函数f（x）在区间[a，a+1]和[2a，2（a+1）]上单调且增减性相反，则称函数f（x）为H函数，下列说法中正确的是

 

．
①函数y=x²-2x+1是H函数；
②函数y=sin

1

2

x是H函数；
③若函数y=x²-2tx+1是H函数，则必有t≤2；
④存在周期T=3的函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）是H函数．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知中H函数的定义，可得函数在直线x=t两侧单调相反，则t≥2，由此逐一分析四个结论的正误，可得答案．

解答： 解：由已知中H函数的定义，可得a≠0，
若函数在直线x=t两侧单调相反，
若a＞0，t＞0，则a+1≤t≤2a，解得：a≥1，即t≥2，
函数y=x²-2x+1在直线x=1两侧单调相反，1＜2，故①错误；
函数y=sin

1

2

x在直线x=π两侧单调相反，π＞2，故②正确
函数y=x²-2tx+1在直线x=t两侧单调相反，故t≥2，故③错误；
周期T=3的函数f（x）的图象若直线x=t两侧单调相反，则t＜

3

2

，故④错误；
故说法正解的只有②，
故答案为：②．

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了H函数的定义，正确理解H函数的定义，是解答的关键．