Question

设数列{a_n}的前n项和为s_n，满足点（n，s_n）在函数f（x）=x²-8x图象上，{b_n}为等比数列，且b₁=a₅，b₂+a₃=-1
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n，求数列的前项n和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由点（n，s_n）在函数f（x）=x²-8x的图象上得到数列递推式S_n=n²-8n，由a_n=s_n-s_n-1=求得数列的通项公式．再由数列{b_n}为等比数列，b₁=a₅=1，b₂=2求得公比，代入等比数列的通项公式求得b_n；
（2）把a_n=2n-9，b_n=2^n-1代入c_n=a_nb_n，然后由错位相减法求得数列的前项n和T_n．

解答： 解：（1）∵点（n，s_n）在函数f（x）=x²-8x的图象上，
∴S_n=n²-8n，
当n=1时，a₁=s₁=-7，
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=（n²-8n）-[（n-1）²-8（n-1）]=2n-9，
而a₁=-7满足上式，
∴a_n=2n-9．
∵数列{b_n}为等比数列，b₁=a₅=1，b₂=2，
∴q=2，则b_n=2^n-1；
（2）由（1）知a_n=2n-9，b_n=2^n-1，
则Cn=(2n-9)•2n-1，
则Tn=(-7)×20+(-5)×2+(-3)×22+…+(2n-11)•2n-2+(2n-9)•2n-1  ①，
2Tn=(-7)×2+(-5)×22+…+(2n-13)•2n-2+(2n-11)•2n-1+(2n-9)•2n  ②，
①-②得，
-Tn=-7+2(2+22+23+…+2n-1)-(2n-9)•2n
=-7+2×

2(1-2n-1)

1-2

-(2n-9)•2n=（11-2n）•2ⁿ-11．
∴Tn=(2n-11)•2n+11．

点评：本题考查了数列递推式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．