Question

4．已知二次函数满足f（x）=ax²+bx+c（a≠0），满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1，
（1）函数f（x）的解析式：
（2）函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值：
（3）若当x∈R时，不等式f（x）＞3x-a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设函数f（x）的解析式，利用待定系数法求解．
（2）利用二次函数的性质求解在区间[-1，1]上的最大值和最小值：
（3）分离参数法，将不等式转化为二次函数的问题求解．

解答 解：（1）由题意：f（x）为二次函数，设f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=1，
∴c=1．
则f（x）=ax²+bx+1
又∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-ax²-bx-1=2ax+a+b，即2ax+a+b=2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=-1．
所以函数f（x）的解析式：f（x）=x²-x+1．
（2）由（1）知$f（x）={x^2}-x+1={（{x-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{3}{4}$，
根据二次函数的性质可知：开口向上，对称轴x=$\frac{1}{2}$，
∴当$x=\frac{1}{2}$时，f（x）有最小值$\frac{3}{4}$，
当x=-1时，f（x）有最大值3；
（3）对于任意x，不等式f（x）＞3x-a恒成立，即x²-x+1＞3x-a，
将可化为：a＞3x-x²+x-1，即a＞-x²+4x-1恒成立，
设g（x）=-x²+4x-1，x∈R，可知g（x）的最大值为3，
所以：a＞3．
故得实数a的取值范围是（3，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的解析式求法和最值的讨论以及参数的问题．属于中档题．