Question

19．已知f（x）=${cos^2}（x+\frac{π}{12}）+\frac{1}{2}$sin2x．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）求函数f（x）的图象在y轴右边的第一个对称中心的坐标．

Answer 1

分析 （1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，然后内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）根据正弦函数的图象及性质，令$\frac{π}{3}+2{x_0}=0+kπ$，求解对称坐标方程，根据k的取值，可得y轴右边的第一个对称中心的坐标．

解答 解：函数f（x）=${cos^2}（x+\frac{π}{12}）+\frac{1}{2}$sin2x．
化简可得：$f（x）=\frac{{1+cos（2x+\frac{π}{6}）}}{2}+\frac{1}{2}sin2x=\frac{{1+cos2xcos\frac{π}{6}-sin2xsin\frac{π}{6}+sin2x}}{2}$=$\frac{{1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x+\frac{1}{2}sin2x}}{2}=\frac{{1+sin（\frac{π}{3}+2x）}}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（2x$+\frac{π}{3}$）$+\frac{1}{2}$
∵2x$+\frac{π}{3}$∈[$2kπ-\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{π}{2}$]是单调增区间，即$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
可得：$-\frac{5π}{6}+2kπ≤2x≤\frac{π}{6}+2kπ，k∈Z$，
解得：$-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{π}{12}+kπ，k∈Z$，
∴函数的单调增区间为$[-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ]，k∈Z$．
（2）由（1）可得f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x$+\frac{π}{3}$）$+\frac{1}{2}$，
∵$\frac{π}{3}+2{x_0}=0+kπ$，k∈Z，
化简得$2{x_0}=-\frac{π}{3}+kπ$，k∈Z，
故得：${x_0}=-\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
当k=1时，${x_0}=\frac{π}{3}$，
∴函数在y轴右边的第一个对称中心的坐标为$（\frac{π}{3}，\frac{1}{2}）$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．