Question

13．设命题p：不等式x-x²≤a对?x≥1恒成立，命题q：关于x的方程x²-ax+1=0在R上有解．
（1）若?p为假命题，求实数a的取值范围；
（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若?p为假命题，则p为真命题，进而可得实数a的取值范围；
（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p真q假，或者p假q真，进而可得实数a的取值范围；

解答 解：（1）∵￢p为假命题，
∴命题p为真命题；
∵x-x²在x∈[1，+∞）单调递减，
∴x-x²的最大值为0，
故a≥0；
（2）命题q：△=a²-4≥0，
∴a≥2或a≤-2，
“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，等价于p真q假，或者p假q真，
则$\left\{{\begin{array}{l}{a≥0}\\{-2＜a＜2}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a≤-2或a≥2}\end{array}}\right.$，
∴实数a的取值范围为a≤-2或0≤a＜2．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数恒成立，方程的根等知识点，难度中档．