Question

6．已知函数f（x）=（1+a）lnx+$\frac{2（1-a）{x}^{2}+1}{x}$（a∈R）．
（1）当a＞1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意a∈（2，3）及x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）（1-a）-2ln3＞f（x₁）-f（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）整理得$m（{1-a}）＞\frac{2}{3}-4（{1-a}）$，问题转化为$m＜\frac{2}{{3（{1-a}）}}-4$恒成立，根据a的范围，求出m的范围即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1+a}{x}-\frac{1}{x^2}+2（{1-a}）=\frac{{2（{1-a}）{x^2}+（{1+a}）x-1}}{x^2}=\frac{{（{2x-1}）[{（{1-a}）x+1}]}}{x^2}$，
当a＞3时，$\frac{1}{a-1}＜\frac{1}{2}$，令f'（x）＜0，得$0＜x＜\frac{1}{a-1}$或$x＞\frac{1}{2}$，
令f'（x）＞0，得$\frac{1}{a-1}＜x＜\frac{1}{2}$；当1＜a＜3时，得$\frac{1}{a-1}＞\frac{1}{2}$，
令f'（x）＜0，得$0＜x＜\frac{1}{2}$或$x＞\frac{1}{a-1}$，
令f'（x）＞0，得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{a-1}$；
当a=3时，$f'（x）=-=\frac{{{{（{2x-1}）}^2}}}{x^2}≤0$，
综上所述，当a＞3时，函数f（x）的递减区间为$（{0，\frac{1}{a-1}}）$和$（{\frac{1}{2}，+∞}）$，递增区间$（{\frac{1}{a-1}，\frac{1}{2}}）$；
当a=3时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当1＜a＜3时，函数f（x）的递减区间为$（{0，\frac{1}{2}}）$和$（{\frac{1}{a-1}，+∞}）$，递增区间为$（{\frac{1}{2}，\frac{1}{a-1}}）$．
（2）由（1）可知，当a∈（2，3）时，函数f（x）在区间[1，3]上单调递减，
当x=1时，函数f（x）取最大值；当x=3时，函数f（x）取最小值，
$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|≤f（1）-f（3）=（{3-2a}）-[{（{1+a}）ln3+\frac{1}{3}+6（{1-a}）}]=\frac{2}{3}-4（{1-a}）+（{-a-1}）ln3$，
∵$（{m+ln3}）（{1-a}）-2ln3＞\frac{2}{3}-4（{1-a}）+（{-a-1}）ln3$，整理得$m（{1-a}）＞\frac{2}{3}-4（{1-a}）$，
∵a＞1，∴$m＜\frac{2}{{3（{1-a}）}}-4$恒成立，
∵2＜a＜3，∴$-\frac{13}{3}＜\frac{2}{{3（{1-a}）}}-4＜-\frac{38}{9}$，
∴$m≤-\frac{13}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．