Question

14．已知复数z₁=1-2i，z₂=3+4i，i为虚数单位．
（Ⅰ）若复数|z₂|+az₁对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若z（z₁+z₂）=z₁-z₂，求z的共轭复数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把z₁=1-2i，z₂=3+4i代入|z₂|+az₁，化简整理后由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解；
（Ⅱ）把z₁=1-2i，z₂=3+4i代入z（z₁+z₂）=z₁-z₂，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．

解答 解：（Ⅰ）|z₂|+az₁=5+a（1-2i）=（5+a）-2ai，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}5+a＞0\\-2a＜0\end{array}\right.$，
解得a＞0；
（Ⅱ）由z（z₁+z₂）=z₁-z₂，得
$z=\frac{{{z_1}-{z_2}}}{{{z_1}+{z_2}}}=\frac{（1-2i）-（3+4i）}{（1-2i）+（3+4i）}=\frac{-2-6i}{4+2i}=-1-i，\overline z=-1+i$．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．